Achilles und die Schildkröte

Ich habe gerade in einem Logik-Buch die Lösung des Paradoxons von Achilles und der Schildkröte gelesen, das auf Zenon von Elea zurückgeht. Darauf bin ich zuerst in Terry Pratchetts Pyramiden gestoßen. Vielleicht hat einer meiner Leser von dem Paradoxon gehört und fragt sich schon lange, wie man es auflösen kann, darum hier die Erklärung…

Zenon war ein skeptischer Philosoph, der die Grenzen der Vernunft aufzeigen wollte. Einige logische Paradoxien der alten Griechen sind noch immer nicht gelöst worden. Darunter das Lügner-Paradoxon: „Dieser Satz ist falsch“. Eine andere Variation: „Der nächste Satz ist falsch. Der vorhergehende Satz ist wahr.“ Verschiedene Logiker, zum Beispiel Bertrand Russel, haben sich daran versucht, dieses Paradoxon aufzulösen, doch ist es ihnen nicht gelungen und ihre Lösungsvorschläge scheitern spätestens, wenn man das Paradoxon umformuliert.

Was diese Sache angeht, bin ich auf der Seite von Wittgenstein. Als man ihn mit dem Paradoxon konfrontierte, dass ein Satz, der aussagt, er sei falsch, wahr sein müsse; wobei, wenn er wahr ist, er ja besagt, dass er falsch sei und insofern mit der selben Logik falsch sein müsse, antwortete: „Na und?“

Dieses Paradoxon bezieht sich nicht auf irgendetwas, das wir außerhalb der Logik in der objektiven Realität antreffen können, also ist es Zeitverschwendung, sich damit aufzuhalten. Die Realität ist nicht paradox.

Im Paradoxon von Achilles und der Schildkröte geht es um ein Wettrennen zwischen dem griechischen Helden Achilles, dem Helden aus Homers Ilias, und einer Schildkröte. Laut Zenon kann Achilles die Schildkröte niemals einholen und der Eindruck, dass er es tue, sei lediglich eine Illusion unserer Sinne. Damit wollte Zenon aufzeigen, dass Bewegung unmöglich sei, denn Bewegung führe zu einem Widerspruch.

Um die Schildkröte nämlich einholen zu können, muss Achilles zunächst die Hälfte der Distanz zwischen ihm und der Kröte zurücklegen. Dann müsste er die Hälfte der übrigen Distanz zurücklegen. Dann die Hälfte der übrigen Distanz und immer so weiter. Er würde der Schildkröte immer näher kommen, aber die Halbierungen der restlichen Distanzen würden unendlich weitergehen und Achilles könnte die Schildkröte niemals schlagen.

Vor Newton und Leibniz gingen Mathematiker davon aus, dass jede Summe einer unendlichen Anzahl positiver Zahlen unendlich sei. In diesem Fall haben wir eine unendliche Anzahl positiver Brüche: 1/2 (die Hälfte der Distanz zur Schildkröte) + 1/4 (die Hälfte der Hälfte der Distanz) + 1/8 und immer so weiter.

Newton und Leibniz haben nun entdeckt, dass die Summe einer unendlichen positiven Anzahl ganzer Zahlen oftmals nicht unendlich ist. Mit jeder Addition kommen wir einer bestimmten Zahl also immer näher. Bei einer unendlichen Anzahl von Rechenschritten würden wir die Zahl schließlich erreichen. Eine endliche Zahl kann unendlich oft geteilt werden.

Und die Lösung von Achilles scheinbar paradoxem Laufweg lautet also, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 (der ganze Weg zur Schildkröte). Und so würde Achilles die Schildkröte doch einholen und unsere Sinne haben uns nicht getäuscht. Die Realität ist von unserem Wunschdenken auch in diesem Fall unabhängig, obgleich es gut 2000 Jahre dauerte, bis wir herausgefunden haben, warum dies im Falle von Zenons Paradoxon so ist. Es sei denn, jemand durchbohrt die Ferse des Achilles mit einem Pfeil, bevor er die Schildkröte erreichen kann, und er ist nicht mehr in der Lage, weiterzulaufen und sie zu erreichen.

[tube]http://www.youtube.com/watch?v=skM37PcZmWE[/tube]

10 Kommentare zu “Achilles und die Schildkröte

  1. Stefan sagt:

    Ich hab nur nie verstanden warum man den Läufer Achilles genannt hat. Der hätte ja wohl Beine gehabt die nicht mit jedem Schritt kürzer werden.
    Es müsste doch eigentlich von einem Läufer die Rede sein der immer langsamer wird oder?
    Meine Lösung war immer, dass ab einem gewissen Bruch schon nur seine Beinlänge ausreicht um die Schildkröte zu überholen.
    Gewissermaßen eine pseudomathematische Version des Beobachtbaren. Bewegung existiert, viel bewegt sich unterschiedlich schnell, Dinge werden überholt also müssen die Brüche irgendwann 1 geben, die Strecke halt die man zum überholen braucht.

  2. vulki sagt:

    „Vor Newton und Leibniz gingen Mathematiker davon aus, dass jede Summe einer unendlichen Anzahl positiver Zahlen unendlich sei. In diesem Fall haben wir eine unendliche Anzahl positiver Brüche: 1/2 (die Hälfte der Distanz zur Schildkröte) + 1/4 (die Hälfte der Hälfte der Distanz) + 1/8 und immer so weiter.“
    Ehrlich gesagt: Für mich (der immerhin eine Vorlesung höhere Mathematik belegt hat) ist hier entweder die Lösung oder das Paradoxon trivial (und damit der Begriff „Paradoxon“ falsch).
    Denn die Erklärung ist, dass die Summe der halbierten (oder, im Video, gezehntelten) Teile eine endliche Zahl ergibt. Das wissen wir, weil – sonst das Paradoxon tatsächlich paradox wäre. Was Newton und Leibniz dabei entdeckt haben sollen, ist mir nicht ganz klar – das Paradoxon ist an sich schon der Beweis, dass eine solche Konvergenz möglich ist. (In etwa so wurde das uns erklärt – wenn hier jemand mehr zu bieten hat, melden!) Vielleicht konnten die alten Griechen eine solche Tatsache einfach nicht akzeptieren? (Oder haben sich von der Verkomplizierung zu einer nicht-ganzen Zahl ablenken lassen… oder sie hatten mit dem Prinzip der unendlich werdenden Zeitschritte Probleme.)

    „Newton und Leibniz haben nun entdeckt, dass die Summe einer positiven Anzahl ganzer Zahlen oftmals nicht unendlich ist. “
    Lies das noch mal durch.

    • vulki sagt:

      Es muss natürlich heißen „unendlich klein werdenden Zeitschritte“

    • Wafthrudnir sagt:

      Ich habe mal eine Vorlesung bei dem Physiker und Wissenschaftshistoriker Pietschmann gehört (leider weiß ich keine bessere Quellenangabe), nach der dieses Paradoxon unglaublich weitreichende Folgen hatte:
      Für die Griechen war der Umstand, dass Archilles die Schildkröte einholt, nicht der Beweis dafür, dass die Folge 1/2 + 1/4 +… gegen 1 strebt, denn dafür hätten sie nur einen rein mathematischen Beweis akzeptiert, und einen solchen kannten sie halt noch nicht. Was sie vielmehr daraus schlossen war, dass Mathematik und Logik eben nicht immer adäquate Mittel zur Beschreibung der Realität sind.
      Warum sollten sie auch? Schließlich wußte kein Grieche, dass sich unser Gehirn durch die Evolution an unsere Umwelt angepaßt hat; die evolutionäre Erkenntnistheorie stammt halt erst aus den 1970ern.
      Und damit hätten es die Griechen aufgegeben, die Natur mit Hilfe eines Satzes widerspruchsfreier Naturgesetze beschreiben zu wollen. Aristoteles zum Beispiel war deshalb der Meinung, dass man die Regeln und Methoden einer Wissenschaft nicht auf eine andere übertragen dürfe. Physikalische Phänomene mathematisch zu beschreiben zu wollen wäre sinnlos, wie Archilles und die Schildkröte beweisen, also hat man es gar nicht mehr versucht. Es dauerte dann über 1000 Jahre, bis Roger Bacon und seine Nachfolger überrascht feststellten, dass es doch funktioniert. Insofern wären diese Paradoxa mitverantwortlich, dass es vom Hellenismus bis zum ausgehenden Hochmittelalter nur einen ganz geringen naturwissenschaftlichen Fortschritt gab.

    • derautor sagt:

      Ein „unendlich“ zu wenig, ansonsten siehe Wafthrudnir.

      Offenbar haben einige Kommentatoren Probleme damit, den Erkenntnisrelativismus und Konstruktivismus überhaupt zu verstehen, was ja gewissermaßen für sie spricht. Wir wissen doch, dass ein menschlicher Sprinter eine Schildkröte überholen kann, also muss offensichtlicherweise die Mathematik der alten Griechen unzureichend sein. Stimmt, so würde ich das auch sehen aus der Perspektive der philosophischen Logik. Aber die Griechen benötigten einen mathematischen Beweis und andernfalls neigten viele (wenn auch nicht alle) dazu, davon auszugehen, dass etwas mit ihrer Wahrnehmung nicht stimmt, als dass sie geglaubt hätten, ihre Mathematik könnte sich irren. Will heißen: Eher ist Bewegung eine Illusion oder der Verstand mangelhaft, als dass ihre mathematische Logik, die den Zugriff zur wirklichen Wirklichkeit erlaubte, fehlerhaft wäre.

  3. vulki sagt:

    Es ist aber völlig egal, ob man das Problem in der Wirklichkeit oder im mathematischen Modell betrachtet. Der mathematische Beweis ist ganz analog – mit gegen unendlich gehendem n wird der restliche Abstand 1/2^n unendlich klein („kleiner als jedes beliebige epsilon größer Null“). Das ist alles, was die moderne Mathematik dazu sagt, und darauf hätten die Griechen auch kommen können.

    Ich weiß nicht, ob ich das jetzt richtig verstehe, aber: haben die Griechen tatsächlich mathematischer Logik den Vorrang gegenüber ihrem praktischen Verstand gegeben, obwohl doch ihre Ablehnung der Erklärung „die unendliche Anzahl Strecken kann in endlicher Zeit abgelaufen werden“ überhaupt nicht mathematisch begründet war?

  4. Wafthrudnir sagt:

    Ich glaube nicht. Sie scheinen eher gemeint zu haben, dass die Realität anders funktioniert, als es uns logisch erscheint. Entweder man akzeptiert (von ihrem Standpunkt aus), daß die Realität so funktioniert, wie man es beobachten kann – dann muß man aber darauf verzichten, sie logisch beschreiben zu können. Oder man glaubt, dass die Realität logisch ist – dann ist viel von dem, was man beabachten kann, eine Täuschung.
    Das scheinen sie einfach so akzeptiert zu haben. Wahrscheinlich könnte man ihnen wirklich den Vorwurf machen, nicht gründlich genug nach einer dritten Möglichkeit gesucht zu haben, nämlich daß irgendwo in ihrer scheinbar logischen Beschreibung des Wettrennens ein Trugschluß steckt.
    Der Gedanke, daß die Welt nach logischen Gesetzen funktionieren MUSS, sodaß es sich lohnt, auch dann nach ihnen zu suchen, wenn sie alles andere als offensichtlich sind, dürfte übrigens nicht zufällig erst katholischen Mönchen gekommen sein: Nach Thomas von Aquin ist Gott frei von Widersprüchen, also müssen dies auch die Prinzipien sein, nach denen er die Welt regiert. Gott ist ewig und zeitlos, also sollten diese Prinzipien immer und überall gleich gelten – also Naturgesetze in unserem Sinn. Und was für Gott widerspruchsfrei ist, sollte für den Menschen als Gottes Ebenbild ebenfalls logisch erscheinen. Das sind alles sehr optimistische Annahmen, für die die Griechen kein Fundament hatten, etwa, weil sie nicht glaubten, dass nur ein Gott die Welt regiert.

    • derautor sagt:

      Diese Idee kam den Christen allerdings reichlich spät und anfangs war es ihnen zu verdanken, dass die Wissenschaft der Griechen und Römer für Jahrhunderte praktisch eingestellt wurde. Erst in der Renaissance wurde, eher aus Notwendigkeit, versucht, Wissenschaft und Christentum zu vereinbaren. Einen so dramatischen Effekt hatten Zenons Spielereien sicherlich nicht, er steht ja erst am Anfang der Philosophie und Wissenschaft der Griechen.

  5. altonno sagt:

    zum thema logik kann ich diess comic empfehlen: http://www.amazon.com/Logicomix-Apostolos-Doxiadis/dp/0747597200

  6. foundnoreligion sagt:

    Ich selber habe im Kapitel über den Idealismus das Paradoxon in einer bestimmten Weise aufgelöst, wobei ich eigentlich die Zahl 10 als Basis genommen habe. Nichtsdestotrotz ist es interessant zu erfahren, dass es einige Philosophen gibt, die gleiche Gedanken haben wie ich.

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